Benutzer:Tina WWU3: Unterschied zwischen den Versionen

  Merke

Die lokale Änderungsrate

Die lokale Änderungsrate einer Funktion gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der Tangente an der Stelle an. Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion . Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung berechnen. Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden.

Der Grenzwert heißt Differenzialquotient.

.

  Aufgabe 3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate

a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.

Tipp: Mittlere Änderungsrate anzeigen

Tipp: Mittlere Änderungsrate verstecken
Die Formel stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate von f über dem Intervall [;] an.

Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P(|) und Q(|).

Tipp: Lokale Änderungsrate anzeigen

Tipp: Lokale Änderungsrate verstecken
Die Formel → heißt Differenzialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle.

b) Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.

  Aufgabe 4: Änderungsraten im Sachzusammenhang

Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:

für

a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.

b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.

c) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für keinen Sinn?

Lösung a) anzeigen

Lösung a) verstecken
Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn . Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt .

Lösung b) anzeigen

Lösung b) verstecken
Die lokale Änderungsrate entspricht der Geschwindigkeit. und .

Lösung c) anzeigen

Lösung c) verstecken
Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.