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Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Aufgaben|2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate|Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.
 
{{Aufgaben|2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate|Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.
 
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<popup name="Hinweis Differenzenquotient">Die Formel <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über den Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an.
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Geometrisch gedeutet ist dieser Quptient die Steigung der Sekaqnte durch zwei Punkte.
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[[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|200px]]</popup>
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<popup name="Hinweis Differenzialquotient">Die Formel <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math> heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt <math>Q(x_0+h|f(x_0+h))</math> auf den Punkt P <math>P(x_0|f(x_0))</math> zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in <math>x_0</math>.</popup>
  
 
{{Aufgaben|2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a|Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.}}
 
{{Aufgaben|2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a|Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.}}
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{{Aufgaben|2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang|Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit (t in Sekunden) zurückgelegten Weg (s(t) in Meter) gilt:}}
 
  
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''s(t)=10t-t<sup>1<sup>'' für t in [0;5]
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{{Aufgaben|2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang|Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit (t in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt:
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        ''<math>s(t)=10t+t^2</math>''   für <math>t\in [0;5]</math>
  
 
'''(i)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
 
'''(i)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
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'''(ii)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt.
 
'''(ii)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt.
  
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'''(iii)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für t=6 keinen Sinn?
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'''(iii)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn?  
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<popup name="Hinweis zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit</popup>
  
 
<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>
 
<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>
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<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>
 
<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>
  
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<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formal kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup>
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<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup>
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{{Aufgaben |3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate|
 
{{Aufgaben |3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate|
  

Version vom 12. Oktober 2018, 12:14 Uhr

Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Infokästchen, dessen Text noch eingefügt werden muss

Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten

Stift.gif   Aufgabe 1a)

Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen.

1. f(x)=4x+2 im Intervall [2,5]

2. f(x)=x^2 im Intervall [2,7]

3. f(x)=x^3-2 im Intervall [-2,1]



Stift.gif   Aufgabe 1b)

Dein Sportverein feiert dieses Jahr achtjähriges Bestehen. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht:

Jahr 1 2 3 4 5 6 7 8
Anzahl der Mitglieder am Ende des Jahres 210 336 351 371 342 365 387 411

Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

1) Wie viele Mitglieder sind seit Beginn der Mitgliedererfassung im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen? Runde bitte auf zwei Nachkommastellen genau und überprüfe anschließend deine Lösung!

Seit Beginn der Mitgliedererfassung sind im Durchschnitt pro Jahr diese Anzahl an Mitgliedern zum Verein gekommen: (!25,13) (!22,30) (!31,74) (!2,23) (28,71)

2) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit zwei Jahren zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitglieder. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren zuvor. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?


Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten

Stift.gif   Aufgabe 2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate

Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.

Stift.gif   Aufgabe 2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a

Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.


Stift.gif   Aufgabe 2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang

Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit (t in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt: 

        s(t)=10t+t^2    für  t\in [0;5]

(i) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.

(ii) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt.

(iii) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für t=6 keinen Sinn?

Stift.gif   Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate



a) Sieh dir zunächst die Formeln im unteren Bereich der Darstellung an. Durch Verschieben des h-Knopfs verändern sich die Werte. Probiere dies aus und fülle den folgenden Lückentext aus.

b)

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