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Streckung in x- Richtung: Unterschied zwischen den Versionen

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<span style="color: #008B00 ">'''h(x) = f (&frac12; ∙ x) = (&frac12; ∙ x)<sup>4</sup> - 3 (&frac12; ∙ x)<sup>2</sup> + 1'''</span><br />
 
<span style="color: #008B00 ">'''h(x) = f (&frac12; ∙ x) = (&frac12; ∙ x)<sup>4</sup> - 3 (&frac12; ∙ x)<sup>2</sup> + 1'''</span><br />
 
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Im Gegensatz zur Streckung in y- Richtung durch g(x) = a ∙ f (x) wird bei der Funktion g(x) = f (<span style="color: red">'''a'''</span> ∙ x) der Parameter <span style="color: red">'''a'''</span> mit jedem x- Wert multipliziert.<br />
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Im Gegensatz zur Streckung in y- Richtung durch g(x) = a ∙ f (x) wird bei der Funktion g(x) = f (<span style="color: red">'''a'''</span> ∙ x) der Parameter <span style="color: red">'''a'''</span> mit jedem auftretenden x- Wert multipliziert.<br />
 
Damit muss auch die jeweilige Potenz auf den Parameter <span style="color: red">'''a'''</span> angewendet werden.<br />
 
Damit muss auch die jeweilige Potenz auf den Parameter <span style="color: red">'''a'''</span> angewendet werden.<br />
  
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<big>Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen '''f''', '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''' mit den Koordinatenachsen.<br />
 
<big>Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen '''f''', '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''' mit den Koordinatenachsen.<br />
 
Was fällt dir auf, wenn du ihre Lage betrachtest?<br />
 
Was fällt dir auf, wenn du ihre Lage betrachtest?<br />
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Setzte den '''Schieberegler a''' auf ganzzahlige Werte, um eine Regel zu formulieren.<br />
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Setzte den <span style="color: red">Schieberegler a</span> auf ganzzahlige Werte, um eine allgemeine Regel zu formulieren.<br />
 
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Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?<br /></big>
 
Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?<br /></big>
  
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<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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Für g<sub>3</sub>(x) = f (<span style="color: #0000EE">3</span>∙ x) liegt der Achsenschnittpunkt bei S<sub>g</sub>('''0,54'''/0).<br />
 
Für g<sub>3</sub>(x) = f (<span style="color: #0000EE">3</span>∙ x) liegt der Achsenschnittpunkt bei S<sub>g</sub>('''0,54'''/0).<br />
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Hier ist die x- Koordinate von S<sub>g</sub> <span style="color: #0000EE">ein Drittel</span> so groß, wie die von S<sub>f</sub>.<br />
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<math>\Rightarrow</math> Hier ist die x- Koordinate von S<sub>g</sub> <span style="color: #0000EE">ein Drittel</span> so groß, wie die von S<sub>f</sub>.<br />
 
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Alle Graphen schneiden den Punkt (0/<span style="color: #CD1076 ">1</span>), da alle Funktionsterme die <span style="color: #CD1076 ">Konstante + 1</span> enthalten.
 
Alle Graphen schneiden den Punkt (0/<span style="color: #CD1076 ">1</span>), da alle Funktionsterme die <span style="color: #CD1076 ">Konstante + 1</span> enthalten.
 
</popup>
 
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<big>Übertrage die Lücken, nachdem du sie hier überprüft hast, auf dein Arbeitsblatt.</big><br />
  
 
<div class="lueckentext-quiz">MERKE:
 
<div class="lueckentext-quiz">MERKE:
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=== <big>Übung ===
 
=== <big>Übung ===
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Teste dich selbst, indem du den Funktionsgraphen ihre Terme zuordnest.</big><br />
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Teste dich selbst, indem du den Funktionsgraphen ihre Gleichungen zuordnest.</big><br />
 
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<iframe src="http://LearningApps.org/watch?v=pw5bmsw4n" style="border:0px;width:100%;height:700px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="http://LearningApps.org/watch?v=pw5bmsw4n" style="border:0px;width:100%;height:700px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Version vom 19. August 2013, 16:33 Uhr


Streckung in x- Richtung.png Im Bild siehst du drei Funktionen mit den folgenden Funktionstermen:

f(x) = x4 - 3 x2 + 1,
g(x) = f (2 ∙ x) = (2 ∙ x)4 - 3 (2 ∙ x)2 + 1 und
h(x) = f (½ ∙ x) = (½ ∙ x)4 - 3 (½ ∙ x)2 + 1

Im Gegensatz zur Streckung in y- Richtung durch g(x) = a ∙ f (x) wird bei der Funktion g(x) = f (a ∙ x) der Parameter a mit jedem auftretenden x- Wert multipliziert.
Damit muss auch die jeweilige Potenz auf den Parameter a angewendet werden.

Mit den Potenzgesetzen folgt:
g(x) = 24 ∙ x4 - 3 ∙ 22 ∙ x2 + 1 und
h(x) = (½)4 ∙ x4 - 3 ∙ (½)2 ∙ x2 + 1.

Fülle die Wertetabelle auf deinem Arbeitsblatt vollständig aus.
Was fällt dir auf?

x
- 4
- 2
- 1
0
1
2
4
f(x) = x4 - 3x² + 1
g(x) = f (2 ∙ x)
h(x) = f (½ ∙ x)


Vermerke auch deine Beobachtungen, indem du den Lückentext ausfüllst, kontrollierst und dann auf das Arbeitsblatt überträgst.

Für eine Funktion g(x) = f (2 ∙ x) sind alle Funktionswerte g(x) gleich den Funktionswerten f (2 ∙ x).
Also sind die Funktionswerte f (x) an jeder Stelle x genau doppelt so weit von der y- Achse entfernt, wie die Funktionswerte g(x) für den gleichen x- Wert.
Umgekehrt ist g(x) für jeden x- Wert genau halb so weit von der y- Achse entfernt, wie f(x) für den gleichen x- Wert.


Allgemein

Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen f, g und h mit den Koordinatenachsen.
Was fällt dir auf, wenn du ihre Lage betrachtest?
Setzte den Schieberegler a auf ganzzahlige Werte, um eine allgemeine Regel zu formulieren.

Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?



Übertrage die Lücken, nachdem du sie hier überprüft hast, auf dein Arbeitsblatt.

MERKE:

Die x- Werte einer Funktion g(x) = f (a ∙ x), für a > 0, sind immer \frac{1}{a}-mal so weit von der y- Achse entfernt, wie die x- Werte von f.
Der Graph von g wird von der y- Achse aus in x- Richtung mit dem Streckungsfaktor \frac{1}{a} gestreckt.


Übung

Teste dich selbst, indem du den Funktionsgraphen ihre Gleichungen zuordnest.



Zurück zur Streckung in y- Richtung Weiter zur Spiegelung an der x- Achse

Manipulationen an Funktionen

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