Spiegelung an der x- Achse

Du hast bisher gelernt, dass der Graph einer Funktion g(x) = a ∙ f (x) für a > 0 im Vergleich zum Graphen der Funktion f mit dem Streckungsfaktor a in y- Richtung gestreckt wird. Jetzt wollen wir untersuchen, welchen Einfluss ein negativer Parameter a auf den Graphen von j(x) = a ∙ f (x) hat: Dazu kannst du mit der Maus die Funktion f (x) in den einzelnen Applets verschieben. Wie verändert sich dadurch die Funktion j(x) = -1 ∙ f (x)? Wie erklärst du dir den Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen? Fülle den Lückentext aus und übertrage die richtigen Antworten auf dein Arbeitsblatt. In beiden Fällen wurde der Parameter a = -1 gewählt. Um die Funktionswerte von j(x) = -1 ∙ f (x) zu erhalten, werden alle Funktionswerte von f mit dem Faktor -1 multipliziert; ihr Vorzeichen kehrt sich dadurch um. Der Graph von j entsteht also aus einer Spiegelung des Graphen von f an der x- Achse.

Allgemein Mit a = -1 haben wir einen Spezialfall für einen negativen Parameter a betrachtet. Was passiert wohl mit dem Graphen von g(x) = -5 ∙ f (x) oder dem Graphen von h(x) = - $\frac{1}{5}$ ∙ f (x)? Stelle eine Vermutung auf und überprüfe sie anschließend mit der Wertetabelle und dem GeoGebra-Applet. Trägst du die richtigen Werte in die Tabelle ein, färbt sich der Hintergrund der jeweiligen Zelle grün. Zeichne die berechneten Werte in das Applet ein und verbinde sie zu den Funktionsgraphen von f, g und h. Hilfe zu GeoGebra anzeigen Hilfe zu GeoGebra verstecken Trage die berechneten Punkte (x|f (x)), (x|g(x)) und (x|h(x)) in das Applet ein, indem du in der Werkzeugleiste das Symbol "Neuer Punkt" auswählst. Einen bereits gezeichneten Punkt kannst du noch verschieben, indem du das Mauspfeil-Symbol aus der Werkzeugleiste auswählst und ihn an seinen neuen Platz ziehst. Die Punkte lassen sich über das Symbol in der Werkzeugleiste "Freihandskizze erkennen", das du unter dem Button "ABC" findest, zu einem Funktionsgraphen verbinden. Willst du die drei Graphen leichter unterscheiden, kannst du über den Rechtsklick auf einen Graphen "Eigenschaften" auswählen. Hier lässt sich Farbe, Zeichenstärke, Bezeichnung, ... verändern. Um deine Zeichnung zu überprüfen, kannst du die drei Graphen auch über die Kontrollkästchen sichtbar machen. Fülle die Lücken aus und übertrage anschließend die richtigen Antworten auf dein Arbeitsblatt. Der Graph von g(x) = -5 ∙ f(x) geht aus dem Graphen von f hervor, der an der x- Achse gespiegelt und mit dem Streckungsfaktor 5 in y- Richtung gestreckt wird. Den Graphen von h(x) = -$\frac{1}{5}$ ∙ f(x) erhält man aus dem Graphen von f, der an der x- Achse gespiegelt und mit dem Streckungsfaktor 1/5 in y- Richtung gestreckt wird. Allgemein gilt: Der Graph von g(x) = -a ∙ f(x) geht aus dem Graphen von f hervor, der an der x- Achse gespiegelt und mit dem Streckungsfaktor a in y- Richtung gestreckt wird.

Übung Die Funktionsgleichung der schwarz eingezeichneten Funktion f (x) = x² + 2 ist vorgegeben. Bestimme den Faktor a, mit dem die übrigen Funktionen gestreckt und/oder gespiegelt wurden. Zurück zur Streckung in x- Richtung Weiter zur Spiegelung an der y- Achse Manipulationen an Funktionen